こんにちは。
地理座標系（経度、緯度、楕円体高）を使って、十分に近い２点間の近似距離は、微小量三成分（地球楕円体接平面上でのENU方向成分）の長さから計算します（$dr=\sqrt{dE^2+dN^2+dU^2}$）1、離心率 $e$、地球長半径 $R$）：
\begin{align}
dE &= \left(\frac{R}{\sqrt{1-e^2\sin^2 \phi }}+h\right) \cos \phi \, d \lambda \\
dN &= \left(\frac{R\ (1- e^2)}{\left(1-e^2 \sin^2 \phi\right)^{3/2}}+h\right) \, d \phi \\
dU &= dh
\end{align}
Braun投影
この係数に現れる緯度$\phi$の三角関数を無くすことを考えました。考えた方法は、緯度$\phi$を使う代わりに、
\chi = \tan \frac{\phi}{2}
という変換された変数を使うことにします2。これはBraun投影図法と呼ばれる円筒図法の一種です。下記のように$\chi$の四則計算式に置き換えられます。
\begin{align}
d \phi &= \frac{2}{1 + \chi^2} \,d \chi \\
\cos \phi &= \frac{1 - \chi^2 }{1 + \chi^2}\\
\sin \phi &= \frac{2 \chi}{1 + \chi^2}
\end{align}
Haversine formula
Haversine formula（下記） の三角関数（の一部）を置き換えてみました。
\operatorname{hav}\left(\frac{d}{R}\right) = \operatorname{hav}(\phi_2 - \phi_1) + \cos(\phi_1) \cos(\phi_2)\operatorname{hav}(\lambda_2-\lambda_1)
\begin{align}
\operatorname{hav} \left(\phi_1-\phi_2\right) &= \frac{1}{2} \left( 1 - \cos \phi_1 \cos \phi_2 - \sin \phi_1 \sin \phi_2\right) \\
&= \frac{\left(\chi_1-\chi_2\right)^2}{\left(1+\chi_1^2\right) \left(1+\chi_2^2\right)} \\
\end{align}
Parametric (or reduced) latitude
parametric (or reduced) latitude $\beta$ についても書き換えてみました。
\begin{align}
\tan \frac{\beta}{2} &= \frac{2 \chi \sqrt{1-e^2}}{1-\chi^2 + \sqrt{\left(1-\chi^2\right)^2+4 \chi^2 \left(1-e^2\right)}} \\
\tan \beta &= \sqrt{1-e^2} \tan \phi
\end{align}
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$\phi=0$ ($\chi=0$) では、$dE = \left(R+h\right) \, d\lambda$、$dN = 2 \, \left(R \,\left(1-e^2\right) + h\right) \, d\chi$ となります。 ↩