データ分析するのにポアソン分布の確率質量関数をソラで書ける必要なんてまったくないと思うんだけど。
— 職場で戦う美ホクソ戦士 (@hoxo_m) 2016年5月13日
などと言ったものの、ポアソン分布は基本的な分布なので導出できるようにはなっておきたい。
ポアソン分布は二項分布において、$np = \lambda$ を一定としたまま $n \rightarrow \infty$ としたときの分布である。
二項分布の確率質量関数は、
$$
\begin{align}
P(k) =& {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k} \\
=& \frac{n(n-1)\cdots(n-(k-1))}{k!} p^k (1-p)^{n-k} \\
\end{align}
$$
である。まずは分子と分母に $n^k$ をかけて式変形する。
$$
\begin{align}
P(k) =& \frac{p^kn^k}{k!n^k} n(n-1)\cdots(n-(k-1)) (1-p)^{n-k} \\
=& \frac{\lambda^k}{k!} \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-(k-1)}{n} (1-p)^n (1-p)^{-k} \\
=& \frac{\lambda^k}{k!} 1 (1 - \frac{1}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n}) (1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}
\end{align}
$$
$n \rightarrow \infty$ とすると
$$
\begin{align}
\lim_{n \rightarrow \infty} P(k) =& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\lambda^k}{k!} 1 (1 - \frac{1}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n}) (1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \\
=& \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n}) (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} (1-\frac{\lambda}{n})^n \\
=& \frac{\lambda^k}{k!} 1 \cdots 1 \cdot (1)^{-k} \lim_{n \rightarrow \infty} (1-\frac{\lambda}{n})^n \\
=& \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n \rightarrow \infty} (1-\frac{\lambda}{n})^n
\end{align}
$$
ここで、
$$
e^{-x} = \lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \frac{x}{n})^n
$$
を使うと、
$$
\begin{align}
\lim_{n \rightarrow \infty} P(k) =&
\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
\end{align}
$$
が得られた。
したがって、ポアソン分布の確率質量関数は、
$$
\begin{align}
f(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\end{align}
$$
となる。