Slack APIに使うチャンネルIDを取得するための正式な方法は「Slack | APIに使う「チャンネルID」を取得する方法」です。
ただSlackで今開いているチャンネル/ダイレクトメッセージのチャンネルIDを今すぐ知りたい場合は、HTMLのなかにある「チャンネルID」を下記javascriptをアドレスバーに入れてポップアップさせる、という手も。
javascript:(function(){var e=document.querySelector("#star_container>button");alert(e.getAttribute("data-im-id")||e.getAttribute("data-channel-id"))})();
bookmarkletとしても保存してもよいでしょう。
# ホスト名チェックなどは入れていませんが。