結論

Azure Web Apps で最新の v8.0.0 がすでに利用可能でした。
しかも、2017-05-30 のリリースから、3, 4日後に最新バージョンが利用可能になってます。

詳細

ドキュメント上では、Web App で Node.js のバージョンを指定する方法は下記の3つ。

1. WEBSITE_NODE_DEFAULT_VERSION にデフォルトバージョンが指定されているので、それを目的のバージョンに設定＆上書きする。
2. package.json の "engines":{"node":version} 部分に目的のバージョンを設定する。
3. iisnode.yml で任意の node.exe を使う。

結果的に、2 の方法で一番簡単に実現できました。package.json 上で変更すると、デプロイ先が複数ある場合に（例：dev, test, staging, production）、想定外の設定忘れなどが無く、運用上良いかと思います。
検証するために、Node.js のコードは以下のような具合にバージョンを出力するようにしておきます。

index.js

var http = require('http');

var server = http.createServer(function(request, response) {
    response.writeHead(200, {"Content-Type": "text/plain"});
    response.end("Hello world on nodejs version " + process.version);
});

var port = process.env.PORT || 1337;
server.listen(port);
});

2017/06/06 の時点では、Web App デプロイ直後、環境変数
WEBSITE_NODE_DEFAULT_VERSION は、6.9.1 でした。

もしここで、package.json の engines に以下のように 6.9.1 以上、というように指定していると、最新バージョン v8.0.0 で実行されます。つまり、優先度は、package.json > 環境変数 WEBSITE_NODE_DEFAULT_VERSION のように動作しています。

package.json

    "engines": {
        "node": ">=6.9.1"
    }

output

Hello world on nodejs version v8.0.0

特定のランタイムバージョンを固定して利用したい場合は、以下でOKです。Web App もこの設定に追随します。

package.json

    "engines": {
        "node": "6.9.1"
    }

output

Hello world on nodejs version v6.9.1

ちなみに

Web App で利用可能なランタイムバージョンを調べるには、Kudu なりで、D:\Program Files (x86)\nodejs の下を確認すればOKです。

D:\Program Files (x86)\nodejs>ls -l | tail
drwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group       0 Apr  2 00:17 7.3.0
drwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group       0 Apr  2 00:17 7.4.0
drwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group       0 Apr  2 00:17 7.5.0
drwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group       0 Apr  2 00:17 7.6.0
drwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group       0 Jun  2 21:12 7.7.4
drwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group       0 Jun  2 21:11 8.0.0
-rwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group 4699496 Jul 10  2012 node.exe
drwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group       0 Apr  2 00:05 node_modules
-rwxr-xr-x 1 Unknown+User Unknown+Group     274 Jul 10  2012 npm
-rw-r--r-- 1 Unknown+User Unknown+Group     209 Jul 10  2012 npm.cmd

なんと、 Jun 2 21:11 8.0.0 !!!
2017/05/30 の最新 8.0.0 バージョンのリリースから、数日後（※コンソール出力のタイムゾーンはUTC）には利用できるようになっているではないですか。最新バージョンをいち早く使いたい場合でも、数日待てば使えるのであれば、それほど心配は要らないですね。

Azure Web Apps で最新 Node.js バージョンを使う

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ちなみに