await は async および Promise を待ち受けることができますが、当然、旧来のコールバックは待ち受けることができません。自分の書いてるコードであれば Promise を返すように書き換えればいいのですが、ライブラリがコールバックを返す場合は困ったりします。
そういう場合、Promise で包んであげれば待ち受けることができます。
例えば setTimeout() のコールバックの実行が完了するのを待ち受けるコードは次のようになります。
asyncな関数orメソッドorアロー関数の中のコード
// ...
const hoge = await (() =>
new Promise(resolve => {
setTimeout(() => {
resolve('hoge')
}, 2000)
}))()
console.log(hoge) // 2秒後に hoge が出力される
// ...