いわゆるモナド変換子。定義はこんなの。
class MonadTrans t where
lift :: Monad m => m a -> t m a
以下の法則を満たす。
lift . return = return
lift (m >>= f) = lift m >>= (lift . f)
今まではなんとなくモナドの分配則で語るべき話かと思ってたんだけど、微妙に違うっぽい。具体的には、liftはモナド間の射(monad morphism)として定義されている。確かに、求められる法則を見るとreturnと(>>=)の構造を保持するような規則と読み取れる。
ところで、モナドは関手なので、その間の射であれば自然変換であるべきだ。liftも計算してみるときちんと自然変換になっている。f :: a -> bについて可換性を見てみる。
(lift . (fmap f)) mx
= lift(fmap f mx)
= lift(mx >>= (return . f)) -- fmapの定義
= lift mx >>= (lift . return . f) -- 法則2
= lift mx >>= (return . f) -- 法則1
= fmap f (lift mx) -- fmapの定義
= ((fmap f) . lift) mx
きちんと可換になっている。fmapやreturnが型が違うのに同じ表記になるのが見づらいが、要はξ_b ∘ Mf = Tf ∘ ξ_aを示したことになる(ただし、Monad mはM、Monad (t m)はT、liftはξで表記)。
とここまで書いて、Monad (t m) は定義に入ってないことに気がついた。return :: a -> t m aとかを暗黙に期待しているから、別に要らないだろってことでいいのかな。