※WordPress 4.7 で「動画ヘッダー」機能が実装されました。
https://make.wordpress.org/core/2016/11/26/video-headers-in-4-7/
よってこの記事は WordPress 4.6 以前のバージョンでの内容となります。
実装に関しては WordPress テーマカスタマイザーで動画を追加して出力（ver 4.7以降の場合）を参考にどうぞ。

~~AMIMOTO AMI では HOME のヘッダー部分に動画を埋め込んで自動再生しています。~~
リニューアルでなくなってしまったけど、この部分の仕組みをご紹介します。

動画再生方法

Coverrがおすすめ。

Coverr

動画を選ぶとフォールバック用の静止画像がセットでダウンロードされます。
HTML、CSS、JavaScriptはサイトに表示されるので、「How to use」セクションに従いましょう。
CMS（WordPress）に組み込まないならこのまま使いましょう。

※このCSSに足りない記述があるため、下記を追加しておくと幸せになります

.hidden {
    display: none;
}

WordPress のテーマに組み込む

CSS と JavaScript

テーマの functions.php に記述。
_s や iemoto 使うと既に wp_enqueue_scripts アクションはあるのでその内部に追加するのがいいでしょう。
ファイル名やパス、ハンドルはよしなに。

functions.php

function mytheme_scripts() {
    if ( is_front_page() ) { // フロントページのみ埋め込む
        wp_enqueue_style( 'mytheme-style', get_template_directory_uri() . '/css/movie.css', array(), 'v0.1.0' );
        wp_enqueue_script( 'mytheme-js', get_template_directory_uri() . '/js/movie.js', array( 'jquery' ), 'v0.1.0', true );
    }
}
add_action( 'wp_enqueue_scripts', 'mytheme_scripts' );

HTML

header.php あたりにいい感じに組み込む。ファイル名やパス、videoタグの属性についてはお好みで。

header.php

<?php if ( is_front_page() ) : // フロントページのみ埋め込む ?>
    <div class="homepage-hero-module">
        <div class="video-container">
            <div class="filter"></div>
            <video autoplay loop class="fillWidth" poster="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/movie/example.jpg">
                <source src="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/movie/example.mp4" type="video/mp4" />Your browser does not support the video tag. I suggest you upgrade your browser.
                <source src="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/movie/example.webm" type="video/webm" />Your browser does not support the video tag. I suggest you upgrade your browser.
            </video>
            <div class="poster hidden">
                <img src="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/movie/example.jpg" alt="">
            </div>
        </div>
    </div>
<?php endif; ?>

WordPress テーマカスタマイザーに動画セクションを追加

動画を変更する際にテーマのPHPソースを直接変えるのであれば適当なところにHTMLソースを組み込むだけですが、ダッシュボード（管理画面）から動画を差し替えられるよう、WordPressのテーマカスタマイザーに機能を追加します。
その際、もともとある「ヘッダー画像」は動画のフォールバック用の画像として利用するようにして、そのセクションに動画のアップローダーを追加します。

_s や iemoto なら、 /テーマディレクトリ/inc/customizer.php の customize_register 部分以下のように変更。
そうじゃない場合はよしなに。

customizer.php

function my_customize_register( $wp_customize ) {
    $wp_customize->add_setting( 'mytheme_header_movie_mp4',
        array(
            'default' => '',
            'transport' => 'postMessage',
        )
    );
    $wp_customize->add_control( 
        new WP_Customize_Upload_Control( 
        $wp_customize, 
        'mytheme_header_movie_mp4', 
        array(
            'label'      => __( 'Header Movie MP4', 'mytheme' ),
            'section'    => 'header_image',
            'settings'   => 'mytheme_header_movie_mp4',
        ) ) 
    );
    $wp_customize->add_setting( 'mytheme_header_movie_webm',
        array(
            'default' => '',
            'transport' => 'postMessage',
        )
    );
    $wp_customize->add_control( 
        new WP_Customize_Upload_Control( 
        $wp_customize, 
        'mytheme_header_movie_webm', 
        array(
            'label'      => __( 'Header Movie WebM', 'mytheme' ),
            'section'    => 'header_image',
            'settings'   => 'mytheme_header_movie_webm',
        ) ) 
    );

    $wp_customize->get_setting( 'blogname' )->transport         = 'postMessage';
    $wp_customize->get_setting( 'blogdescription' )->transport  = 'postMessage';
    $wp_customize->get_setting( 'header_textcolor' )->transport = 'postMessage';
}
add_action( 'customize_register', 'my_customize_register' );

見た目はこんな感じ。なお、アップロードや保存は WordPress がよろしくやってくれます。

テーマカスタマイザーで保存された動画を出力

header.php に組み込んだソースを改変。