最初にお断りしますが、私も勉強中で正確な定義はあやふやです。とんでもない間違いをしている可能性がありますが、もし、ご理解に役立てば幸いです。
第1章 「序論」のための確率用語の学習の学習
1.1 確率変数は変数なのか
1.1.1 確率空間（Ω, F, P）
- 集合
- 「集合」って正式な定義は難しいのだけれど、まずは「集まり」くらいでよいのではないか。また、集合を具体的に表すときは、自然数の集合Ω={1, 2, 3, ...}のように書く。
- 部分集合
- 部分集合とは集合のなかの一部の集まりのこと。
- 集合族
- 集合族とは部分集合の集まりのこと。
- 元
- 集合の要素のこと。
- 例
- 曜日の集合：{日, 月, 火, 水, 木, 金, 土}
- 曜日の部分集合の１つ：{月, 水}。あるいは、{日, 金, 土}。
- 日、月、… それぞれが元。
- 整数の集合：{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
- 整数の部分集合の１つ：自然数：{1, 2, 3, ...}
- 整数の部分集合の１つ：偶数 ：{2, 4, 6, ...}
- 整数の部分集合の１つ：{1, 3, 8}
- ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... それぞれが元。
- 曜日の集合：{日, 月, 火, 水, 木, 金, 土}
- σ加法族
- 次頁に説明がありますが、まー普通使う数字の集まり、くらいで最初はよいのではないか。
長さ、面積、体積などを拡張した考え方として測度がある。その測度の考え方の中に加法族がある。加法族とは集合演算をしたときにその集合が閉じているもの。つまり、集合の和や積をした結果がその集合のなかに含まれるもののこと。無限加算個まで考えた加法族のことをσ加法族という。
たとえば整数の集合Ωを考える。その部分集合である、集合A={1, 2, 3}, 集合B={2, 3, 4}のAとBの和（重複しない足し算）={1, 2, 3, 4}であり、AとBの積（両方の部分集合に含まれるもの）={2, 3}であるが、{1, 2, 3, 4}も{2, 3}も元の集合である整数の集合Ωに含まれているので加法族である（正確な定義では和と積以外の演算もあるが、ここでは省略）。
また、同じく整数の集合Ωを考えた場合に、その部分集合である、偶数の集合A={2, 4, 6, ...}と奇数の集合B={1, 3, 5, ...}の和は{1, 2, 3, ...}であり、積は∅（空集合）である。どちらも無限個あるが数えられるので無限加算個であり、元の集合Ωに含まれているのでσ加法族である（空集合もΩに含むと考える）。
って感じに普通考える数字はσ加法族になっている。
- 互いに素
- 2つの整数が1と-1以外に互いに共通の約数を持たない場合に、互いに素という。例4と10は共通の約数2を持つので互いに素ではない。3と14は1と-1以外に共通の約数を持たないので互いに素である。
- 一様分布
- サイコロの出目のように、それぞれの出来事（事象）の確率が等しい場合の分布のこと。
1.1.2 σ加法族
- 合併
- 集合の和のこと。
- 共通部分
- 集合の積のこと。
- 補集合
- その部分集合を除いた残りの集合のこと。
\begin{align}
集合AとBの和（合併）&：A\cup{B} \\
集合AとBの積（共通部分）&：A\cap{B} \\
集合Aの補集合&：A^c （別の書き方では \bar{A}） \\
AはBの元&：A\in{B}
\end{align}
- 余事象
- 事象Aに対して、事象Aが起こらないこと。
1.1.3 確率変数X
なし
1.1.4 確率変数は写像である
なし