機械学習の森、数学の剣～探索者による憧憬～：トポロジカルデータアナリシスに必要な数学

注：私は数学も機械学習も専門家ではありませんので、誤りがある可能性があります。

トポロジカルデータアナリシス

トポロジカルデータアナリシスとは

• 位相的データ解析（Topological Data Analysis）についてにほんのさわりだろうけど簡単な解説がある。
• Deep Learning の次は、TDA 「トポロジカル・データ・アナリシス」 (Topological data analysis) が来る ? ～ その概要と、R言語 / Python言語 実装ライブラリ をちらっと調べてみたによると、なんでもディープラーニングの次はトポロジカルデータアナリシスらしいのだが情報幾何学とはまた違うらしい。これによるとTDAの道具として下記が上げられている。
  • TDAにおける道具
    • グラフ理論
    • 単体的複体
    • ホモロジー代数
    • パーシステントホモロジー
    • モース理論

トポロジカルデータアナリシスに必要な数学とは

上記のTDAににおける道具を参考にトポロジカルデータアナリシスに必要な数学を調べてみた。

• グラフ理論
  これは一般的だろう。離散数学－グラフ理論という感じ。

• 単体的複体
  Wikipedia:複体や単体的複体とは？によると、組合せ論やグラフ理論寄りの話らしい。

• 位相空間－位相幾何学

  • 『岩波講座 現代数学の基礎〈13〉位相幾何』には前提知識として、『岩波講座 現代数学への入門 8　(15)曲面の幾何』の「位相空間」とある。
  • 「代数的トポロジー」（代数的位相幾何学）の講義ノートPDF。ホモトピー・ホモロジーを使った幾何の入門によると、下記で圏論も関わってくるみたいだ。

群環体－－
　　　　｜－代数的位相幾何学（「ホモロジー代数」を含む）
微分幾何－

• パーシステントホモロジー（持続性ホモロジー）

  • パーシステント・ホモロジーの双対性によると、「データサイエンスへの代数トポロジーの本格的な応用」らしい。とりあえず代数的位相幾何学の範疇ということか。
  • トポロジーは応用できるか? によると、ホモロジーだと穴が一つである円と三角形を区別できないがパーシステントホモロジーだと区別できるとのこと。

• モース理論

  • Wikipedia:モース理論によると、微分位相幾何学の範疇のようだ。

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上記を岩波講座現代数学への入門、現代数学の基礎でたどると（離散数学、グラフ理論や組み合わせ論は現代数学への入門や現代数学の基礎にはないので、別の本で）

微分と積分１　　　　　　　　　　　　　　　代数入門１　　　幾何入門１
　　｜－－－－－－－－－｜　　　　　　　　　　｜　　　　　　　｜
　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　代数入門２　　　幾何入門２
微分と積分２　　　　行列と行列式１　　　　　　｜　　　　　　　｜
　　｜　　　　　　　（いわゆる線型代数）　　　｜－－－？－－－｜
　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　？
曲面の幾何　　　　　行列と行列式２　　　　　　　　　　？
（いわゆる微分幾何　（同上）　　　　　　　　　　　　　？
　位相空間含む）　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　？
　　｜　　　　　　　　　｜－－－－－－－－－－？？？？｜
　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　位相幾何　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　代数幾何１（圏論含む）
　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
Morse理論の基礎　　　　　　　　　　　　　　　　　代数幾何２（コホモロジー含む）

微分位相幾何は？

こんな感じか？

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