　最近lensの各型を調べていて、その理解のうちの1つの関門となったのが、
Lens型のうちGettingとGetter、SettingとSetterの関係だった。

定義をHackageで眺めていたらふと、その2つの-erが-ingの一般化になっていることに気づいた。

なぜ一般化されているのかはまだわかってない

このあたりはどこかの論文を読めば書いてあることなのかもしれないけど、僕は論文を読んでいない……。

GetterはGettingの一般化

　まずは定義をば。

type Getting r s a = (a -> Const r a) -> s -> Const r s
type Getter s a = forall f. (Contravariant f, Functor f) => (a -> f a) -> s -> f s

　GettingがGetterのfを（rを外に逃して）Const rに固定した型になっている。

(簡略) Getting :: (a -> Const r a) -> s -> Const r s
(簡略) Getter  :: (a -> f       a) -> s -> f       s

　Const rはContravariantFunctor Functorなので、fに当てはまる。

instance Contravariant (Const a)
instance Functor (Const a)

ということはGetterはGettingの一般化である。

SetterはSettingの一般化

　定義はこのようになっている。

type Setting p s t a b = p a (Identity b) -> s -> Identity t
type Setter s t a b = forall f. Settable f => (a -> f b) -> s -> f t

SettingはGettingと1つだけ違って、(->)がpに一般化されている。
pを(->)に特殊化すると、GettingのConst rをIdentityに置き換えた型になる。

type Setting p s t a b = p    a (Identity b) -> s -> Identity t
(特殊化)             ==> (->) a (Identity b) -> s -> Identity t
(簡約)               ==> (a ->   Identity b) -> s -> Identity t

　Settableはこのようになっているので

class (Applicative f, Distributive f, Traversable f) => Settable f where
  untainted :: f a -> a
  untaintedDot :: Profunctor p => p a (f b) -> p a b
  taintedDot :: Profunctor p => p a b -> p a (f b)

SettableはApplicative Distributive Traversable (functor) だと解釈できる。

type Setter s t a b = forall f. (Applicative f, Distributive f, Traversable f) => (a -> f b) -> s -> f t

　(->)はpで、

data (->) :: * -> * -> *

IdentityはApplicative Distributive Traversableなので

instance Applicative Identity
instance Distributive Identity
instance Traversable Identity

SetterはSettingの一般化である。

追伸

　ここのドキュメントコメントが、なぜ-ingを-erに一般化するのかのヒントになるかもしれない。

Control.Lens.Internal.Setter (Settable)

Anything Settable must be isomorphic to the Identity Functor.

訳) あらゆるSettableはIdentity Functorと同型でなければいけない。

この「同型」は圏論的意味だと思う。

Lensの-erは-ingの一般化である（Getter,Setter）

GetterはGettingの一般化

SetterはSettingの一般化

追伸