目次
条件付き確率とは
事象Bが起きるという条件のもとに事象Aが起きる確率を、条件付き確率といいます。
以下の式で求めることができます。
条件付き確率 = AかつBが起こる確率/Bが起こる確率
P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}
例題
さいころを2回振って、出た目の和が8以上となる確率を計算します。
ただし、1回目には「4」が必ず出ることとします。
この場合、以下の式が成り立ちます。
条件付き確率 = \frac{(1回目は4∩1回目と2回目の合計は8)}{1回目は4}
1回目は4になる確率は、
\frac{1}{6}
です。
1回目は4かつ1回目と2回目の合計は8になる確率は、
4になる確率 x 4,5,6のどれかが出る確率 で求められるので、以下の式で算出できます。
\frac{1}{12} = \frac{1}{6}\times\frac{3}{6}
これらを、最初に書いた公式に当てはめると、
\frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}}
答えはは1/2となります。
つまり、この例題の条件付き確率は、50% ということになります。
独立
事象Bが起きるという条件があっても、事象Aに事象Bが影響しないとき、事象Aと事象Bは「独立」であるといいます。
P(A|B) = P(A)
排反
事象Bが起こったときに事象Aは起こらない場合、事象Aと事象Bは「排反」であるといいます。
P(A|B) = 0
乗法定理
条件付き確率を求める式を、以下の様に変形させたものを、乗法定理といいます。
P(A∩B) = P(A) \times P(A|B)
例題
10本のくじがあり、当たりが4本含まれているとします。
Aさんが当たりを引いたあと、Bさんがくじを引きます。
AさんもBさんも当たりである確率はいくらでしょうか？
Aさんが当たる確率 = \frac{4}{10}
Bさんが当たる確率 = \frac{3}{9}
となるので、答えは、2/15 となります。
\frac{2}{15} = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9}