目次
分散とは
以下のような、AとBのデータがあります。
どちらも、データの合計は15、平均は3となりますが、AとBのデータのばらつき具合は似ているとは言えません。
| A | B |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 3 |
| 3 | 3 |
| 4 | 3 |
| 5 | 3 |
- 合計15
- 平均3
このようなデータのばらつきを調べるためには、分散というものを使います。
分散を理解するためには、偏差、平均偏差も理解しておく必要があります。
なので、分散の前に、その2つの説明をします。
偏差
偏差とは、平均値と各データの差を全て足したものの平均のことです。
前述の例の場合は、以下のようになります。
| A | 平均との差 | B | 平均との差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 0 |
| 2 | 1 | 3 | 0 |
| 3 | 0 | 3 | 0 |
| 4 | -1 | 3 | 0 |
| 5 | -2 | 3 | 0 |
| 合計 | 0 | - | 0 |
| 平均 | 0 | - | 0 |
偏差の合計は必ず0となります。
よって、平均も0になってしまうので、偏差でデータのばらつきを調べることはできません。
平均偏差
平均偏差とは、平均値と各データの差の絶対値の合計の平均のことです。
前述の例の場合は、以下のようになります。
| A | 平均との差 | B | 平均との差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 0 |
| 2 | 1 | 3 | 0 |
| 3 | 0 | 3 | 0 |
| 4 | 1 | 3 | 0 |
| 5 | 2 | 3 | 0 |
| 合計 | 6 | - | 0 |
| 平均 | 1.2 | - | 0 |
各データの差の絶対値の合計の平均なので、平均値は0以上になり、データのばらつき具合がわかります。ただ、全て絶対値に置き換えてから計算をしなければならないため、データ数が多くなった場合は面倒です。
分散
分散とは、平均値と各データの差を2乗したものの合計の平均のことです。
V = 分散
n = データ個数
\bar{x} = 平均値
とすると、下記が成り立ちます。
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2
実際に計算してみます。
2 = \frac{1}{5} \{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2\}
表で表すと
| A | 平均との差 | 平均との差の2乗 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | -2 | 4 |
| 合計 | 0 | 10 |
| 平均 | 0 | 分散値=2 |
| B | 平均との差 | 平均との差の2乗 |
|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
| 合計 | 0 | 0 |
| 平均 | 0 | 分散値=0 |
この場合のAの分散は、2、Bは 0 となります。
V_A = 2
V_B = 0
分散値から分かること
分散の値が小さいほど、各データは平均値に近く、ばらつきが少なく、値が大きければ、ばらつきも大きいということが分かります。
今回の例の分散は、Aは2、Bが0なので、Aの方がばらつきが大きいということになります。
標準偏差
標準偏差とは、分散と同じく、データのばらつきを示す指標ですが、
こちらは分散を平方根で計算したものになります。
なぜ標準偏差が必要なのか
分散値は、各データを2乗してから算出しているため、
分散同士を比較することはできますが、分散と平均などを比較したり、計算することはできません。
例えば、単位にメートルが付いているデータの分散を出した場合、
単位も2乗されてしまうため、分散同士の比較や計算はできても、分散と平均などの比較、計算はできません。
元のデータの単位はメートルだが、
m
分散はメートルの2乗のなってしまうため、
m^2
元のデータや平均値と比較できない。
標準偏差の計算方法
そこで、分散に平方根を使うことで、2乗された単位も元に戻り、平均などと比較、計算ができるようになります。
以下の式で標準偏差を算出できます。
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}
実際に、Aのデータの標準偏差を計算してみます。
Aのデータは 1, 2, 3, 4, 5 で、平均値は 3 なので、標準偏差は以下の式で求められます。
\sqrt{2} = \sqrt{\frac{1}{5} \{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2\}}
表で表すと
| A | 平均との差 | 平均との差の2乗 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | -2 | 4 |
| 合計 | 0 | 10 |
| 平均 | 0 | 分散値=2 |
| - | - | 標準偏差=√2 |
解は √2 となるので、標準偏差は、約1.4 になります。
Bは計算するまでもなく、0 となります。
つまり、
\sigma_A \simeq 1.4
\sigma_B = 0
となり、Aのほうがデータのばらつきが大きいことがわかります。
変動係数
標準偏差を平均値で割った値のことです。
例題
500mlのペットボトルの水と、車（同じ車種）をそれぞれの価格を、10店舗まわって調べ、
それぞれの価格が、店によってどのくらいのばらつきがあるのか調べてみました。
以下は、それらの平均と標準偏差をまとめた表です。
| 商品 | 平均価格(円) | 標準偏差(円) |
|---|---|---|
| 水 | 89 | 9 |
| 車 | 3,136,500 | 284,869 |
車の方が圧倒的に標準偏差値が大きいので、車の価格の方がばらつきが大きいということになります。
ただし、水と車では単価が違いすぎるので、車の方が標準偏差が大きくなるのは当然であり、価格のばらつきの割合の比較にはなりません。
そこで、変動係数というものを使います。
変動係数の公式
変動係数を使うと、ばらつきを絶対値ではなく、相対値で比較することができます。
変動係数は、標準偏差を平均値で割ることで求められます。
式で表すと以下になります。
CV = \frac{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}}{\bar{x}}
実際に計算してみます。
| 商品 | 平均価格(円) | 標準偏差(円) |
|---|---|---|
| 水 | 89 | 14 |
| 車 | 3,136,500 | 284,869 |
それぞれ、標準偏差を平均価格で割ります。
すると、
水の変動係数
0.15 = 14 \div 89
車の変動係数
0.09 = 284,869 \div 3,136,500
水の変動係数は0.15
車の変動係数は0.09
なので、水の価格の方が、相対的にはばらつきが大きいということがわかります。
以上